Extremwertaufgabe - Tragfähigkeit eines Balkens

In diesem Arbeitsblatt erlernst du, wie Extremwertaufgaben mit Hilfe der Differentialrechnung gelöst werden können. Wenn es gelingt, eine Variable y=f(x) als stetige und differenzierbare Funktion einer Variablen x darzustellen, dann lässt sich für f(x) berechnen, an welcher Stelle x ein Extremwert auftritt. So lassen sich bspw., wenn entsprechende Gewinn- oder Kostenfunktionen vorliegen, Gewinne maximieren bzw. Kosten minimieren.

In unserem Beispiel geht es um die Maximierung der Tragfähigkeit eines Balkens, der aus einem Baumstamm herausgeschnitten wird. Der Baumstamm hat einen kreisförmigen Querschnitt mit dem Durchmesser d. Der Querschnitt des Balkens mit der Breite b und der Höhe h ist so zu bestimmen, dass die Tragfähigkeit T maximiert wird (s. II. Quadrant).
Im I. Quadranten werden entsprechende funktionale Zusammenhänge zwischen der Tragfähigkeit T des Balkens dargestellt. In die Berechnung der Tragfähigkeit T geht eine Materialkonstante c ein (s. Schieberegler für c). Die Tragfähigkeit ist außerdem proportional zur Breite b und zum Quadrat der Höhe h des Balkens, so dass sich folgender Zusammenhang ergibt:

T = c * b * h²

Problemstellung:
Welche Breite b muss gewählt werden, damit die Tragfähigkeit T maximiert wird?
Mit der Breite b wird natürlich über den gegebenen Durchmesser d des Baumstammes auch die Höhe h bestimmt.

Aufgaben
1.
a) Der Punkt A ist auf dem Kreisumfang verschieblich, so dass damit die Breite b und gleichzeitig die Höhe h des Balkens variiert werden kann. Probiere dies aus und beobachte im I. Quadranten die (grüne) Spur des Punktes T, der die Tragfähigkeit in Abhängigkeit von der Balkenbreite b angibt. Die Spur beschreibt den Graphen der Tragfähigkeitsfunktion T=f(b).
( Tipp: Auffrischen der Ansicht mit Tastenkombination Strg+F )
b) Ein Schieberegler ermöglicht die Variierung der Materialkonstante c.
c) Von welchem Funktionstyp ist die Tragfähigkeitsfunktion T=f(b) (ganzrational, Polynomgrad)?
d) Wie lässt sich die Höhe h des Balkens aus den Größen b und d bestimmen?
e) Stelle nun die Funktionsgleichung für die Tragfähigkeitsfunktion T=f(x,c,d) mit x=b und den Parametern c und d mit dem Ansatz:
T = c * x * h² ; ( h² substituieren durch x und d; x=b)
auf.

2.
a) Blende nun den Funktionsgraphen für T=f(x,c,d) mit x=b ein und überprüfe deinen Ansatz für T=f(x,c,d).
b) Bewege den Punkt A und damit die Balkenbreite b so, dass die Tragfähigkeit ein Maximum erreicht.
c) Bestimme den Wert von x=b mit d=4.1 für das Maximum der Tragfähigkeit.
d) Überlege, welche notwendige und hinreichende Bedingung für ein Maximum zutreffend sind.

3.
a) Bilde die erste Ableitung T'=f(x,c,d) der Tragfähigkeitsfunktion T=f(x,c,d) mit x=b.
b) Setze die erste Ableitung T'=f(x,c,d) gleich Null und bestimme die Stellen x, an denen Extrema auftreten können.

4.
a) Blende den Graphen für die erste Ableitung ein.
b) Wo liegen die Nullstellen der ersten Ableitung?
c) Verweisen diese Nullstellen auf Extrema oder auf Sattelpunkte?

5.
a) Bilde die zweite Ableitung T''=f(x,c,d) der Tragfähigkeitsfunktion T=f(x,c,d) mit x=b.
b) Bestimme die Stelle x_max, an welcher ein Maximum auftritt.
c) Bestimme für diese Stelle x_max die Gleichung zur Berechnung der maximalen Tragfähigkeit. Wie hängt b von h ab?
d) In welchem Verhältnis stehen h:b ?

6.
a) Setze den Schieberegler für die Materialkonstante c auf c=0.1 und verifiziere deine erhaltenen Berechnungsformeln für
b) die Berechnung der Tragfähigkeit T=f(x,c,d) mit x=b,
c) für die Berechnung der Balkenhöhe h und
d) für die Berechnung der Maximalstelle x_max.

7.
a) Bewege den Punkt B nach oben bzw. unten. Mit diesem Punkt wird der Kreisdurchmesser d variiert.
b) Mit Klick auf dem Symbol rechts oben wird die Ansicht auf den Ausgangszustand zurück gesetzt.

Quelle: Kleine Enzyklopädie Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1968

(c) Heinz Lindner, März 2010, Erstellt mit GeoGebra