Flächenmaßzahlfunktion einer geradlinig begrenzten Fläche

Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt wird dir der Einstieg in die Integralrechnung gelingen. Die Integralrechnung ist ja aus dem Bedürfnis heraus entstanden, Flächeninhalte krummlinig begrenzter Flächen zu ermitteln. Obwohl wir mit einer geradlinig begrenzten Fläche anfangen, wird an diesem Beispiel schon der Zusammenhang der Integralrechnung mit der Differentialrechnung (Tangenten- bzw. Steigungsproblematik) deutlich.
In dem Beispiel wollen wir die Fläche unterhalb einer linearen Funktion berechnen. Glücklicherweise stellt sich diese Fläche i.a. als Trapez dar, so dass wir bei der Flächenberechnung auf die Trapezformel zurückgreifen können.

Aufgaben
1. Arbeitsblatt
Du siehst eine farbig markierte Fläche, deren Flächeninhalt wir bestimmen wollen.
Diese Fläche ist linksseitig durch die y-Achse, unten durch die x-Achse, rechtsseitig durch eine Strecke f(x) (mittels Schieberegler für x ist auch f(x) einstellbar) und oben durch eine lineare Funktion f(x)=m*x+n begrenzt (Schieberegler m u. n).
Diese Fläche hat die Form eines Trapezes.

2. Trapezformel
Blende dir die Trapezformel ein. Diese ist recht plausiblel, da sie auf eine Flächenberechnung für ein Rechteck zurück geht. Stelle dir eine um 180° (mathematisch positiv) gedrehte Fläche dieser Trapezfläche vor und setze diese oben an das Geradenstück an. Du erhältst ein Rechteck mit doppeltem Flächeninhalt des Trapezes, das die Seitenlängen a+c und h hat.
Überlege dir anschaulich geometrisch, warum die Trapezformel auch für allgemeine Trapeze gilt, also wenn die untere Begrenzung nicht horizontal liegt?
(Einzige Bedingung für ein Trapez ist ja die Parallelität der Strecken a und c, die anderen geradlinig begrenzenden Strecken können schiefwinklig sein.)

3. Flächenmaßzahlfunktion A(x)
Für die mit den Parametern m und n bestimmte Funktion f(x) wird die Fläche A unterhalb dieser Funktion jetzt nur noch durch den x-Wert bestimmt. Wir können von einer Flächenmaßzahlfunktion A(x) sprechen. Diese Funktion A(x) ist also einerseits von x und andererseits von f(x) abhängig.
Bewege den x-Schiebregler auf x=2 und überlege dir geometrisch, ob der angezeigte Flächeninhalt A korrekt ist. Welcher Flächeninhalt ergibt sich für x=1?

4. Einsetzen der Funktionswerte f(x) in die Trapezformel
Die blauen Strecken a und c des Trapezes sind die Ordinatenwerte f(0) und f(x). Setze diese mit der Höhe h = x des Trapezes in die Trapezformel ein.
Welche Berechnungsformel ergibt sich für A(x)?
Blende zur Kontrolle die Trapezformel mit f(x) ein.

5. Flächenmaßzahlfunktion A(x) für die Funktion f(x)=m*x+n
Setze jetzt für f(x) die lineare Funktion ein und forme den Ausdruck um in eine Polynomfunktion.
Welche Berechnungsformel ergibt sich jetzt für A(x)?
Blende zur Kontrolle die Flächenmaßzahlfunktion A(x) ein.

6. Zusammenhang zwischen A(x) und f(x)
Differenziere die Flächenmaßzahlfunktion A(x) und notiere dir A'(x).
Welchen Zusammenhang zwischen A'(x) und f(x) erkennst Du?

(c) Heinz Lindner, April 2010, Erstellt mit GeoGebra