Flächenmaßzahlfunktion einer krummlinig begrenzten Fläche

Nun wollen wir uns der Flächenberechnung stellen, wenn die zu berechnendeFläche von oben durch den Graphen einer nichtlinearen Funktion f(x) begrenzt ist. Ein Trapez, bei dem die obere Begrenzung durch eine Sekante gebildet wird, wäre ja schon eine brauchbare näherungsweise Lösung.
Zunächst wollen wir uns aber nochmals dem Zusammenhang zwischen der nichtlinearen Funktion f(x) und ihrer Flächenmaßzahlfunktion A(x) widmen.
Am Arbeitsblatt erkennst du, dass, bedingt durch die strenge Monotonie von f(x) in dem Intervall [x₀, x₀ + h], die Größe der gesuchten Fläche unterhalb des Graphen zwischen den Flächengrößen zweier Rechtecke liegen muss, einem unteren Rechteck UR mit einer Höhe f(x₀) und einem oberen Rechteck OR mit einer Höhe f(x₀ + h). Alle drei Flächen haben die Breite h.
Die Flächeninhalte dieser 3 Rechtecke kommen sich ganz bestimmt näher, wenn wir h gegen Null laufen lassen. Das scheint wieder ein Grenzwertprozess zu werden.
Lassen wir uns überraschen.

Aufgaben
1. Arbeitsblatt
Als nichtlineare Funktion haben wir eine quadratische Funktion gewählt. Die Parameter a₀, a₁ und a₂ der Funktion lassen sich durch Schieberegler einstellen.
Der Punkt P₀ lässt sich außerdem frei auf der x-Achse bewegen.
Für die Breite h der Flächen steht uns auch ein Schieberegler zur Verfügung.
Du siehst eine blau umrandete Fläche, deren Flächeninhalt A_h wir bestimmen wollen.

2. Trapezformel
Blende die Sekante und das Trapez ein. Berechne seine Fläche A_T mit der Trapezformel mittels f(x) und h. Überprüfe den für A_T angezeigten Wert.

3. Unteres Rechteck UR
Blende das untere Rechteck ein.
Überlege, wie der Flächeninhalt des unteren Rechtecks UR mit f(x) und h berechnet werden kann. Überprüfe den für A_UR angezeigten Wert.

4. Oberes Rechteck OR
Blende das obere Rechteck ein.
Überlege, wie der Flächeninhalt des oberen Rechtecks OR mit f(x) und h berechnet werden kann. Überprüfe den für A_OR angezeigten Wert.

5. Fläche A_h
Blende die Fläche für A_h ein.

6. Flächenungleichung 1
Blende die Flächenungleichung 1 ein. Erscheint sie dir plausibel? Die zu berechnende Fläche A_h wird von den Flächen des unteren bzw. oberen Rechtecks eingeschlossen.

7. Flächenungleichung 2
Blende die Flächenungleichung 2 ein. Mache dir die Berechnung der Flächen des unteren und oberen Rechtecks plausibel.
Warum kann die Berechnung der gesuchten Fläche A_h als Differenzfläche dargestellt werden?

8. Differenzenquotient
Teile die Flächenungleichung 2 durch h. Du erhältst mittig in der Ungleichung einen Differenzenquotient für eine Funktion A(x).
Blende den Differenzenquotienten ein.

9. Grenzwertprozess
Blende die Formeln für den Grenzwertprozess ein. Bewege den h-Schieberegler nach links, so dass h gegen Null geht. Was passiert mit dem Differenzenquotienten, wenn h gegen Null geht?

Tipp: h kann auch animiert gegen Null gehen. Klicke auf das Play-Symbol links unten. Mit dem Symbol rechts oben wird das Arbeitsblatt in den Ausgangszustand zurück gesetzt.

10. Flächenmaßzahlfunktion A(x)
Überlege dir, wie die Funktion A(x) gestaltet werden muss, wenn A'(x) = f(x) und f(x) eine quadratische Funktion (Funktionsgleichung s. Arbeitsblatt) ist.
Blende zur Kontrolle die Flächenmaßzahlfunktion A(x) ein. War deine Überlegung richtig? Offensichtlich werden hier nicht deine Kenntnisse beim Ableiten gebraucht, sondern die des "Aufleitens".

Fazit:
a) Da f(x) an der Stelle x₀ stetig ist, existiert auch der Grenzwert von f(x₀+h) für h gegen Null. Er ist f(x₀).
b) Der Differenzenquotient für A(x) strebt gegen den Funktionswert f(x₀).
c) Damit existiert die Ableitung A'(x₀) der Funktion A(x). Dies gilt für jedes x₀ des Defintionsbereiches von f(x).
d) Die Flächenmaßzahlfunktion A(x) ist folglich differenzierbar im Definitionsbereich von f(x).
e) Es gilt:
A'(x)=f(x)

Nachwort:
Einen kleinen "Schönheitsfehler" hat unsere Betrachtung. Wir haben ein streng monotones Verhalten von f(x) im Intervall [x₀, x₀ + h] vorausgesetzt.
Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, so lassen sich die Ungleichungen nicht aufrecht erhalten. Die Rechtecke mit den Höhen f(x₀) und f(x₀ + h) schließen die Fläche A_h dann nicht mehr ein.
Schau dir das mit den Einstellungen a₂=-0.4, a₁=1.3, a₀=3.9 und h=2 an.
Wir müssen uns noch etwas einfallen lassen.

(c) Heinz Lindner, April 2010, Erstellt mit GeoGebra