Flächenmaßzahl- und Stammfunktion einer stetigen Funktion f(x)

Den Zusammenhang zwischen einer stetigen Funktion f(x) und deren Flächenmaßzahlfunktion A(x) wollen wir jetzt auf ein sicheres Fundament stellen. Im vorigen Beispiel hatten wir in dem Intervall [x₀, x₀ + h] noch strenge Monotonie verlangt. Diese Voraussetzung wollen wir jetzt fallen lassen. Wir setzen nur noch voraus, dass f(x) in dem Intervall stetig ist.
Die Idee mit dem unteren und oberen Rechteck ist ja nicht schlecht, aber besser wäre es, ein Rechteck so zu finden, dass seine Fläche genau mit der gesuchten Fläche unterhalb des Graphen übereinstimmt.
Zu Hilfe kommt uns hierbei der Zwischenwertsatz.

Aufgaben
Der Punkt P₀ lässt sich frei auf der x-Achse bewegen.
Für die Breite h der Flächen steht uns ein Schieberegler zur Verfügung.
Du siehst eine blau umrandete Fläche, deren Flächeninhalt A_h wir bestimmen wollen.

1. Unteres Rechteck mit Fläche A_UR
Auf das untere Rechteck wollen wir trotzdem nicht verzichten. Wir konstruieren es aber jetzt so, dass seine Höhe durch das Minimum m von f(x) im Intervall [x₀, x₀ + h] bestimmt wird.
Blende das untere Rechteck ein.
m wird hier durch den Scheitelpunkt der Parabel bestimmt. Berechne m und überprüfe dein Ergebnis am angezeigten Wert.

2. Oberes Rechteck mit Fläche A_OR
Auch auf das obere Rechteck wollen wir nicht verzichten. Wir konstruieren es aber jetzt so, dass seine Höhe durch das Maximum M von f(x) im Intervall [x₀, x₀ + h] bestimmt wird.
Blende das obere Rechteck ein.
Das absolute Maximum M wird hier glücklicherweise am Intervallrand erreicht.
Kann das absolute Maximum in einem Intervall mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmt werden?
Bestimme M und überprüfe dein Ergebnis am angezeigten Wert.

3. Fläche A_h
Blende die Fläche für A_h ein. Um die Berechnung dieser Fläche geht es uns.

4. Zwischenrechteck mit Fläche A_z
Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes konstruieren wir ein Zwischenrechteck so, dass für die Flächen A_UR ≤ A_z ≤ A_OR gilt. Dazu müssen wir nur einen Zwischenwert z bilden, der im Intervall [x₀, x₀ + h] liegt. Wir bedienen uns einer Variablen t, die mittels Schieberegler im Intervall 0 ≤ t ≤ 1 einstellbar ist. Damit liegt t * h im Intervall [0, h].
Wenn wir den Zwischenwert z mit z=x₀ + t * h bilden, dann erfüllt z genau die gewünschte Bedingung:
x₀ ≤ x₀ + t * h ≤ x₀ + h.
Da z ein Zwischenwert auf der x-Achse im Intervall [x₀, x₀ + h] ist, sollte gemäß Zwischenwertsatz ein Zwischenrechteck mit der Höhe f(z) konstruierbar sein, dessen Fläche A_z nun innerhalb der Flächen des unteren und oberen Rechtecks liegt.
Blende das Zwischenrechteck (Farbe magenta) ein und versuche mit dem t-Schieberegler ein solches t zu finden, dass die Fläche des Zwischenrechteckes A_z gleich der gesuchten Fläche A_h ist.
Welchen Wert hat t?

5. Flächengleichung
Es gibt also ein t, so dass A_h = A_z ist. Blende die Flächengleichung ein. Mache dir die Berechnung beider Flächen plausibel.
a) Warum kann die Berechnung der gesuchten Fläche A_h als Differenzfläche dargestellt werden?
b) Wie erfolgt die Berechnung der Fläche A_z des Zwischenrechtecks?

6. Differenzenquotient
Teile die Flächengleichung durch h. Du erhältst in der Gleichung einen Differenzenquotienten für eine Funktion A(x).
Blende den Differenzenquotienten ein.

7. Grenzwertprozess
Blende die Formeln für den Grenzwertprozess ein. Bewege den h-Schieberegler nach links, so dass h gegen Null geht. Was passiert mit dem Differenzenquotienten, wenn h gegen Null geht?

Tipp: h kann auch animiert gegen Null gehen. Klicke auf das Play-Symbol links unten. Mit dem Symbol rechts oben wird das Arbeitsblatt in den Ausgangszustand zurück gesetzt.

8. Flächenmaßzahlfunktion A(x)
Überlege dir, wie die Funktion A(x) gestaltet werden muss, wenn A'(x) = f(x) und f(x) eine quadratische Funktion (Funktionsgleichung s. Arbeitsblatt) ist.
Blende zur Kontrolle die Flächenmaßzahlfunktion A(x) ein. War deine Überlegung richtig? Offensichtlich werden hier nicht deine Kenntnisse beim Ableiten gebraucht, sondern die des "Aufleitens".

9. Stammfunktion F(x) von f(x)
Für eine Stammfunktion F(x) von f(x) gilt: F'(x)=f(x).
a) Ist A(x) eine Stammfunktion?
b) Gibt es noch andere Stammfunktionen zu f(x)?
(Tipp: Denke beim Ableiten bzw. hier beim "Aufleiten", dass es eine Konstantenregel gibt.)
Blende die Stammfunktion zur Kontrolle ein.

Fazit:
a) Da f(x) an der Stelle x₀ stetig ist, existiert auch der Grenzwert von f(x₀+h) für h gegen Null. Er ist f(x₀).
b) Der Differenzenquotient für A(x) strebt gegen den Funktionswert f(x₀).
c) Damit existiert die Ableitung A'(x₀) der Funktion A(x). Dies gilt für jedes x₀ des Defintionsbereiches von f(x).
d) Die Flächenmaßzahlfunktion A(x) ist folglich differenzierbar im Definitionsbereich von f(x).
e) Es gilt: A'(x)=f(x)
f) F(x) nennen wir eine Stammfunktion der Funktion f(x) in [a;b], wenn F'(x)=f(x) gilt. Damit ist A(x) eine Stammfunktion.
Es gibt aber unendlich viele Stammfunktionen, da gilt:
(A(x) + c)' = A'(x) = f(x),
wenn c eine relle Zahl ist.

(c) Heinz Lindner, April 2010, Erstellt mit GeoGebra