Das Integral als Grenzwert einer unendlichen Summe von Rechtecken

In den vorhergehenden Arbeitsblättern haben wir Rechtecke benutzt, um eine Näherung für den Flächenansatz zu erhalten. Diesen Gedanken wollen wir weiterentwickeln. Uns interessiert die Berechnung einer Fläche, die von oben durch den Graphen einer nichtlinearen Funktion f(x), von unten durch die x-Achse und seitlich durch die zwei Ordinaten f(a) und f(b) begrenzt ist. Dazu teilen wir das Intervall [a; b] in n Rechtecke mit gleicher Breite Δx.
Der Grundgedanke besteht darin, n gegen Unendlich gehen zu lassen. Dadurch würde die Breite Δx immer kleiner werden, die Summe der Flächen aller Rechtecke würde sich immer besser der gesuchten Fläche annähern.
Jedoch eine beängstigende Frage drängt sich dabei auf:
Was wird mit dem Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks, wenn seine Breite Δx gegen Null geht, was wird mit der Summe der Flächen all dieser Rechtecke?
Lassen wir uns überraschen.

Aufgaben
1. Arbeitsblatt
Als nichtlineare Funktion haben wir eine quadratische Funktion gewählt. Die Parameter a₀, a₁ und a₂ der Funktion lassen sich durch Schieberegler einstellen.
Die Intervallgrenzen des Intervalls [a; b] lassen sich außerdem frei auf der x-Achse bewegen.
Für die Anzahl n der Rechtecke im Intervall [a; b] steht uns ein Schieberegler zur Verfügung.
Du siehst eine blau umrandete Fläche, deren Flächeninhalt A_f wir bestimmen wollen.

2. Untersumme
Blende die Untersumme A_US ein. Das ist der summierte Flächeninhalt der n Unterrechtecke der Breite Δx. Im Graphen werden diese sichtbar. Die Höhen m_i (i=1, ... ,n) der Unterrechtecke ergeben sich jeweils aus dem Minimum von f(x) in dem jeweiligen Intervall. Offensichtlich bilden die jeweiligen linken (als auch die rechten) Intervallgrenzen eine Folge.
a) Welchen Folgentyp erkennst Du?
b) Beschreibe für das i-te Intervall die linken Intervallgrenzen mit deinen Kenntnissen zu Folgen.
c) Beschreibe mathematisch die gleiche Breite Δx der Unterrechtecke aus den gegebenen größen a, b und n.
d) Beschreibe mathematisch den Flächeninhalt des i-ten Unterechtecks.
e) Beschreibe mathematisch den Flächeninhalt aller n Unterrechtecke.
f) Was passiert mit der Untersumme A_US, wenn n erhöht wird?
g) Welcher Wert ergibt sich für A_US, wenn du n auf den maximal möglichen Wert einstellst?

3. Obersumme
Blende die Obersumme A_OS ein. Das ist der summierte Flächeninhalt der n Oberrechtecke der Breite Δx. Im Graphen werden diese sichtbar. Die Höhen M_i (i=1, ... ,n) der Oberrechtecke ergeben sich jeweils aus dem Maximum von f(x) in dem jeweiligen Intervall. Offensichtlich bilden die jeweiligen linken (als auch die rechten) Intervallgrenzen eine Folge.
a) Welchen Folgentyp erkennst Du?
b) Beschreibe für das i-te Intervall die rechten Intervallgrenzen mit deinen Kenntnissen zu Folgen.
c) Beschreibe mathematisch den Flächeninhalt des i-ten Oberechtecks.
d) Beschreibe mathematisch den Flächeninhalt aller n Oberrechtecke.
e) Was passiert mit der Obersumme A_OS, wenn n erhöht wird?
f) Welcher Wert ergibt sich für A_OS, wenn du n auf den maximal möglichen Wert einstellst?

4. Fläche A_f
Blende die Fläche für A_f ein.
Vergleiche den angezeigten Wert mit den Unter- bzw. Obersummen.
Verändere n bis zum maximal möglichen Wert und betrachte die Veränderung von Ober- und Untersumme.
Stelle eine Ungleichung für A_US, A_OS und A_f auf.

5. Flächenungleichung
Blende die Flächenungleichung ein. Erscheint sie dir plausibel? Die zu berechnende Fläche A_f wird von den Flächen der Summe der n unteren bzw. oberen Rechtecke eingeschlossen.
Wie kann A_f als Differenzfläche aus der Flächenmaßzahlfunktion A(x) berechnet werden?

6. Grenzwertprozess
Blende die Formeln für den Grenzwertprozess ein. Bewege den n-Schieberegler nach rechts, so dass n maximal wird.
a) Was passiert mit den Ansätzen für die Unter- bzw. Obersumme, wenn der Maximalwert für n erreicht wird?
b) Was passiert mit Δx?
c) Was wird aus der Differenzfläche A(b) - A(a), warum kann hier die Stammfunktion F(x) mit F(x)=A(x) + c Verwendung finden?

7. Flächenberechnung
a) Stelle die allgemeine Stammfunktion F(x) für die quadratische Funktion f(x) auf.
b) Berechne F(b), F(a) und A_f = F(b) - F(a) und überprüfe dein Ergebnis mit den angezeigten Werten.

8. Integralschreibweise
Blende die Integralschreibweise ein und notiere dir diese für die speziell eingestellte quadratische Funktion.

Tipp: n kann auch animiert gegen den Maximalwert gehen. Klicke auf das Play-Symbol links unten. Mit dem Symbol rechts oben wird das Arbeitsblatt in den Ausgangszustand zurück gesetzt.

Fazit:
a) Die Untersumme konvergiert von unten, die Obersumme von oben gegen die im Intervall [a; b] zu berechnende Fläche A_f.
b) Bei der Konvergenz geht hinsichtlich der Schreibweise das Summenzeichen in das Integralzeichen (langgestrecktes S - Summe) und das Δx in das Differential dx über.
c) Die Fläche A_f kann mittels der Stammfunktion F(x) von f(x) durch die Differenz F(b) - F(a) berechnet werden.
d) Die Differenz F(b) - F(a) heißt das "Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b".
e) Bei der Integralschreibweise ist f die "Integrandfunktion", f(x) der "Integrand", x die "Integrationsvariable", a die "untere Grenze" und b die "obere Grenze".

(c) Heinz Lindner, April 2010, Erstellt mit GeoGebra