Integrationsregeln

In diesem Arbeitsblatt wollen wir uns einige Integrationsregeln veranschaulichen. Mit diesen Regeln kannst du die Integrationen in vielen Fällen vereinfachen. Sie sind auch die Voraussetzung dafür, dass sich die Maßzahlen komplizierterer Flächen berechnen lassen können.

Aufgaben
1. Arbeitsblatt
Als nichtlineare Funktion haben wir eine quadratische Funktion gewählt. Die Parameter a₀, a₁ und a₂ der Funktion lassen sich durch Schieberegler einstellen. Außerdem kann für die quadratische Funktion noch ein Faktor c_f mittels Schieberegler gewählt werden.
Die Intervallgrenzen des Intervalls [a; b] lassen sich frei auf der x-Achse mittels Verschieben der roten Punkte bewegen.
Du siehst zunächst eine blau umrandete Fläche, deren Flächeninhalt A_f wir bestimmen wollen.

2. Flächeninhalt A_f bestimmen
a) Bestimme durch "Aufleiten" die Stammfunktion F(x) der Funktion f(x).
b) Berechne über die Stammfunktion F(x) den Flächeninhalt A_f in den Intervallgrenzen [a; b].
c) Blende die Fläche A_f ein und überprüfe dein Ergebnis.

2. Vertauschen der Integrationsgrenzen
a) Verschiebe die Intervallgrenzen (rote Punkte verschieben) so, dass ein Intervall [b; a] durch Vertauschen von a und b zustande kommt.
b) Welcher Flächeninhalt ergibt sich?
c) Setze das Arbeitsblatt auf den Ausgangszustand zurück.
(Tipp: Klicke auf das Symbol rechts oben).

3. Faktorregel
a) Blende die Faktorregel ein.
b) In der Elementarmathematik gibt es drei grundlegende Gesetze bei Termumformungen: das Assoziativgesetz, das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz. Auf welches dieser Gesetze baut die Faktorregel auf?
c) Setze den Schieberegler für c_f von 1 auf 0.5. Was passiert mit der Fläche A_f?

4. Intervalladditivität
a) Blende die Intervalladditivität ein. Auf der x-Achse wird ein weiterer (blauer) Punkt sichtbar, dessen Ordinate blau gestrichelt ist. Diese Ordinate teilt die Fläche in zwei Teilflächen, in eine linke Fläche A_ac (grün) und eine rechte Fläche A_cb (rot).
b) Addiere beide Flächenmaßzahlen und vergleiche den Wert mit der Flächenmaßzahl von A_f.
c) Verschiebe den (blauen) Punkt auf der x-Achse. Welchen Einfluß hat dies auf die Fläche von A_f?
d) In der Elementarmathematik gibt es drei grundlegende Gesetze bei Termumformungen: das Assoziativgesetz, das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz. Auf welches dieser Gesetze baut die Regel für die Intervalladditivität auf?

5. Summenregel
a) Blende die Summenregel ein. Im oberen Teil wird eine zweite Funktion g(x) (rot) mit den zugehörigen Schiebereglern für ihre Koeffizienten b₀, b₁ und b₂ eingeblendet.
b) In der Elementarmathematik gibt es drei grundlegende Gesetze bei Termumformungen: das Assoziativgesetz, das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz. Auf welche(s) dieser Gesetze baut die Summenregel auf?

5.1 Flächeninhalt A_g bestimmen
a) Bestimme durch "Aufleiten" die Stammfunktion G(x) der Funktion g(x).
b) Berechne über die Stammfunktion G(x) den Flächeninhalt A_g in den Intervallgrenzen [a; b].
c) Blende die Fläche A_g (rot umrandet) ein und überprüfe dein Ergebnis.

5.2 Flächeninhalt der Summenfläche bestimmen
a) Bilde die Funktion h(x)=f(x) + g(x).
b) Bestimme durch "Aufleiten" die Stammfunktion H(x) der Funktion h(x).
c) Berechne über die Stammfunktion H(x) den Flächeninhalt A_f+g in den Intervallgrenzen [a; b].
d) Blende die Fläche A_f+g (schwarz umrandet) ein und überprüfe dein Ergebnis.

6. Flächen ober- und unterhalb der x-Achse
Bisher haben wir nur Flächen oberhalb der x-Achse betrachtet. Die Einschränkung wollen wir jetzt fallen lassen.
a) Setze für die Koeffizienten von f(x):
a₂=0.6
a₁=0.5
a₀=-0.8
b) Stelle als Intervallgrenzen [a; b] = [-2, 2] ein.
c) Bestimme durch "Aufleiten" die Stammfunktion F(x) der Funktion f(x).
d) Berechne über die Stammfunktion F(x) den Flächeninhalt A_f in den Intervallgrenzen [a; b].
e) Blende die Fläche A_f ein und überprüfe dein Ergebnis.
f) Wie kannst du dennoch die Gesamtfläche oberhalb und unterhalb der x-Achse erhalten? Welche Integrationsregel kannst du dabei erfolgreich anwenden?
g) Bestimme die Nullstellen von f(x) und verwende diese als Integrationsgrenzen.


Fazit:
1. Vertauschen der Integrationsgrenzen
Die Flächenmaßzahl A_f ändert dabei das Vorzeichen.

2. Faktorregel
Ein Faktor c_f einer Funktion lässt sich "Ausklammern" und vor das Integral herausziehen.

3. Intervalladditivität
Ein Integral über die Intervallgrenzen [a; b] lässt sich als Summe von Teilintegralen entsprechender Teilintervalle berechnen.
Dies ist besonders dann von Bedeutung, wenn der Graph die x-Achse schneidet, f(x) also Nullstellen hat und die Flächenmaßzahl einer Fläche oberhalb und unterhalb der x-Achse berechnet werden soll.
Des weiteren können Integrale über ein Intervall [a; b] berechnet werden, wenn Funktionen in diesem Intervall nur abschnittsweise in Teilintervallen dieses Intervalls definiert sind.

4. Summenregel
Lässt sich eine Funktion in Summanden zerlegen, dann kann die Integration "gliedweise" erfolgen.
So lässt sich bspw. eine ganzrationale Funktion viel einfacher integrieren.

(c) Heinz Lindner, April 2010, Erstellt mit GeoGebra