Extremwertaufgabe - Maximierung des Volumens

In diesem Arbeitsblatt erlernst du, wie Extremwertaufgaben mit Hilfe der Differentialrechnung gelöst werden können. Wenn es gelingt, eine Variable y=f(x) als stetige und differenzierbare Funktion einer Variablen x darzustellen, dann lässt sich für f(x) berechnen, an welcher Stelle x ein Extremwert auftritt. So lassen sich bspw., wenn entsprechende Gewinn- oder Kostenfunktionen vorliegen, Gewinne maximieren bzw. Kosten minimieren.

In unserem Beispiel geht es um die Maximierung des Volumens eines Kartons mit quadratischem Grundriss, der aus einer quadratischen Vorlage gewonnen wird (Zuschnittproblem). Hierbei sind für die Laschen vier Einschnitte der Länge b (jeweils ein Einschnitt je kleinem Eckquadrat) zu machen, so dass sowohl die Laschen als auch die Seitenflächen hochgebogen werden können. Die Laschen dienen dabei zum Heften des Kartons (s. II. Quadrant).
Im I. Quadranten werden entsprechende funktionale Zusammenhänge zwischen dem Volumen des Kartons ( Volumen = f(x) ) und der Kantenlänge der Eckquadrate ( x = b ) dargestellt.

Problemstellung:
Mit welcher Länge b müssen die Kanten der Eckquadrate gewählt werden, damit das Volumen des entstehenden Kartons maximiert wird?

Aufgaben
1.
Zwei Schieberegler ermöglichen die Variierung der entsprechenden Kantenlängen. Der Schieberegler für die Kantenlänge a regelt die Kantenlänge der quadratischen Materialvorlage, der Schieberegler für die Kantenlänge b regelt die Einschnittlänge bei den Eckquadraten.
a) Bewege den Schieberegler für die Kantenlänge b vom linken bis zum rechten Anschlag und beobachte die (grüne) Spur des Volumenpunktes im I. Quadranten. Die Spur beschreibt den Graphen der Volumenfunktion V=f(b).
( Tipp: Auffrischen der Ansicht mit Tastenkombination Strg+F )
b) Von welchem Funktionstyp ist die Volumenfunktion (ganzrational, Polynomgrad)?
c) Welche Größe stellt die Höhe des Kartons dar?
d) Wie lässt sich die Kantenlänge des Grundrissquadrates dieses Kartons aus den Größen a und b bestimmen?
e) Stelle nun die Volumenfunktion V=f(x,a) mit x=b und dem Parameter a auf.
(V=Länge x Breite x Höhe).

2.
a) Blende nun den Funktionsgraphen für V=f(x,a) mit x=b ein und überprüfe deinen Ansatz für V=f(x,a).
b) Bewege den Schieberegler für die Kantenlänge b so, dass das Volumen ein Maximum erreicht.
c) Bestimme den Wert von x=b mit a=4 für das Volumenmaximum.
d) Überlege, welche notwendige und hinreichende Bedingung für ein Maximum zutreffend sind.

3.
a) Bilde die erste Ableitung V'=f'(x,a) der Volumenfunktion V=f(x,a) mit x=b.
b) Setze die erste Ableitung V'=f'(x,a) gleich Null und bestimme die Stellen x, an denen Extrema auftreten können.

4.
a) Blende den Graphen für die erste Ableitung ein.
b) Wo liegen die Nullstellen der ersten Ableitung?
c) Verweisen diese Nullstellen auf Extrema oder auf Sattelpunkte?

5.
a) Bilde die zweite Ableitung V''=f''(x,a) der Volumenfunktion V=f(x,a) mit x=b.
b) Bestimme die Stelle x_max, an welcher ein Maximum auftritt.
c) Bestimme für diese Stelle x_max die Gleichung zur Berechnung des Maximalvolumens. Wie hängt b von a ab?
d) Bestimme die Gleichung zur Berechnung des Maximalvolumens V=f(x_max, a).

6.
a) Setze den Schieberegler für die Kantenlänge a auf a=3 und verifiziere deine erhaltenen Berechnungsformeln
für
b) die Berechnung des Volumen V=f(a, x),
c) für die Berechnung der Kantenlänge der Eckquadrate b=g(a) und
d) für die Berechnung der Maximalstelle x_max=h(a)

7.
a) Verallgemeinere dieses Beispiel für Kartons mit rechteckigem Grundriss, also mit rechteckigen Materialvorlagen.

Quelle: Kleine Enzyklopädie Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1968

(c) Heinz Lindner, März 2010, Erstellt mit GeoGebra