Bedeutung von Tangente und Normale
- Aerodynamik bei der Rakete A4 (V2)

Warum brauchen wir die Tangenten- und Normalengleichungen bzw. die Richtungs- und Normalenvektoren in der Mathematik?

Am folgenden Beispiel aus der Aerodynamik der Rakete A4 (V2) wollen wir uns das veranschaulichen. In der Aerodynamik (auch in der Hydrodynamik) sind Material und Formen solcher Körper nachgefragt, die einerseits den Oberflächendrücken so wenig wie möglich Angriffsfläche bieten, um damit den Energieverbrauch zu minimieren und andererseits soviel Stabilität haben, dass sie den Druck- und Temperatureinflüssen standhalten.

Die Rakete A4 (Aggregat 4) war die Typenbezeichnung der ersten voll funktionsfähigen ballistischen Großrakete und gilt als erstes von Menschen konstruiertes Objekt, das die Grenze zum Weltraum (nach Definition der FAI mehr als 100km) durchstieß. Sie wurde vor allem in Peenemünde/Usedom entwickelt und getestet und später in einer unterirdischen Fabrik bei Nordhausen (KZ Mittelbau-Dora) für den Masseneinsatz produziert.
Bekannt wurde diese Boden-Boden-Rakete unter dem ihr von Joseph Goebbels im Oktober 1944 gegebenen Propagandanamen Vergeltungswaffe 2, kurz „V2“. Sie gilt als der "Urahn" der Raketentechnik, die insbesondere in der UdSSR und in den USA auf ihrer Basis weiterentwickelt wurde.
Beim Besuch des Historisch-Technischen-Informationszentrums (HTI) in Peenemünde konnte ich ein GKS-Dokument (Geheime Kommandosache) für den Mathe-Unterricht "sicherstellen". Hierin ist zu erkennen, dass Normalenvektoren p den Luftdruck auf den Raketenmantel (Seitenansicht) symbolisieren. Dieser Normalvektor wird zerlegt in einen Radial- und einen Axialvektor, so dass letztendlich über den Axialvektor die Berechnung der Gesamtkraft W von der Raketenspitze bis zu einem Querschnitt Q mittels Integralrechnung vorgenommen werden kann.
In einem ersten Schritt wollen wir im Arbeitsblatt, das im Hintergrund die Rakete A4 auf der Startrampe in Peenemünde kurz vor dem Start zeigt, annähernd die "geheime" Funktion für die verwendete Kontur des Raketenmantels bestimmen und daraus folgend die Tangenten- und Normalengleichung zu dieser Funktion herleiten.

Aufgaben

1. Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion bestimmen
Für die annähernde Bestimmung der Funktion für die Kontur des Raketenmantels steht uns eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades zur Verfügung. Mit den Schiebereglern a3, a2, a1 und a0 kannst du die Koeffizienten der Funktion variieren. Der Punkt P0 ist auf dem Graphen beweglich.
(Hinweis: Rücksetzen des Arbeitsblattes mit Klick auf Doppelpfeilsymbol rechts oben)
a) Verschiebe den Punkt P0.
b) Welche Funktionsgleichung erhältst du, wenn a3=0 ist?
b) Wie beinflusst a0 die Lage des Graphen?
c) Wie beeinflusst a1 die y-Achsensymmetrie, wenn a3=0 ist?
d) Was bewirken a2 und a3?
e) Versuche die Schieberegler so zu stellen, dass die Kontur des Raketenmantels gut angenähert wird.

(Geheimtipp:
f) Versuche es mit den Einstellungen:
a3 = -230
a2 = +41
a1 = -6
a0 = +5 )

2. Tangentengleichung herleiten
a) Bilde die erste Ableitung f'(x).
b) Setze den Punkt auf die Stelle x0 = 0.11
c) Berechne den Funktionswert f(x0).
d) Berechne die Steigung im Punkt P0.
e) Berechne den Winkel im Punkt P0.
f) Stelle die Tangentengleichung auf.
g) Blende die Tangente ein. Hast du alles richtig gerechnet?
(Etwaige kleine Abweichungen kannst du durch die Einstellungsungenauigkeit für P0 vernachlässigen.)

3. Vektorrechnung
a) Blende den Luftströmungsvektor s ein. Sein Betrag wird im Wesentlichen von der Geschwindigkeit der Rakete bestimmt (Erststart am 3.10.1942 mit vmax=4824 km/h und einer Gipfelhöhe von 84,5 km).
Den Punkt S kannst du axial verschieben. Gleichzeitig werden die Vektoren u0 und v0 angezeigt.
b) Welche dieser Vektoren sind Radial- und Axialvektoren?
c) Berechne die Komponenten der Vektoren u0 und v0 für s=(0.11, 6) und vergleiche dein Ergebnis mit dem Arbeitsblatt.
d) Blende den Richtungseinheitsvektor u (der Tangente) ein.
e) Blende die zum Richtungsvektor u zugehörigen Normalenvektoren v und w ein.
f) Welcher Vektor im GKS-Dokument entspricht dem Normalenvektor v?
g) Welche physikalische Bedeutung kommt dem Normalenvektor v zu?
h) Blende die zum Normalenvektor v zugehörigen Komponenten ein. Welcher der Komponenten ist der Radial- und der Axialvektor?

4. Normalengleichung aufstellen
a) Blende die Normale ein.
b) Welchen Winkel und welchen Anstieg hat die Normale?
c) Setze den Punkt auf die Stelle x0 = 0.11, bestimme die zugehörige Normalengleichung und vergleiche dein Ergebnis mit dem Arbeitsblatt.


Links zur Rakete A4 (V2)

Wikipedia Die A4-Rakete
HTM Historisch-Technisches Museum Peenemünde
Lexikon Flugtechnik mit Fotos aus dem Royal Air Force Museum London
luftarchiv.de Aggregat A4 (V2)
Wikipedia KZ Mittelbau-Dora - Unterirdische Produktion der A4 im Kohnstein bei Nordhausen
KZ Gedenkstätte Mittelbau-Dora Stiftung Gedenkstätten Buchenwald und Mittelbau-Dora

(c) Heinz Lindner, März 2010, Erstellt mit GeoGebra

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